고등학교 수학, 특히 함수와 그래프를 배우면서 가장 먼저 마주하게 되는 중요한 개념 중 하나가 바로 ‘공통근’입니다. 중학교에서는 단순히 방정식을 계산해서 답을 내는 과정이었다면, 고등학교에서는 이 방정식을 다양한 함수의 그래프로 보고, 그 교점의 의미를 이해하는 게 중요해집니다. 같은 방정식이라도 어떤 함수로 보느냐에 따라 그림(그래프)은 달라지지만, 결국 찾아내는 ‘교점의 x좌표’, 즉 공통근은 동일합니다. 이 공통근의 개념은 단순한 방정식 풀이를 넘어서서, 4차함수 같은 복잡한 그래프 문제를 해결하는 강력한 열쇠가 됩니다.
목차
공통근은 왜 중요한가
공통근을 이해하면 여러 그래프가 만나는 지점, 즉 ‘연립방정식의 해’를 시각적으로 파악할 수 있습니다. 고등 수학 문제는 하나의 식을 다양한 각도에서 바라보고 해석하는 능력을 요구합니다. 예를 들어, 방정식 x² – 2x – 3 = 0을 푸는 방법은 하나가 아닙니다. y = x² – 2x – 3의 그래프와 x축(y=0)이 만나는 점을 찾을 수도 있고, y = x² – 2x와 y = 3이 만나는 점을 찾을 수도 있으며, y = x²과 y = 2x + 3이 만나는 점을 찾을 수도 있습니다. 세 가지 그림은 완전히 다르게 보이지만, 결국 세 연립방정식을 정리하면 모두 x² – 2x – 3 = 0으로 귀결되며, 교점의 x좌표는 x=3, x=-1로 같습니다. 이는 ‘그림은 달라도 교점의 x좌표는 같다’는 핵심 원리를 보여줍니다.
공통근 차수낮추기 4차함수 해결의 열쇠
공통근 개념이 가장 빛을 발하는 순간은 4차함수와 같은 고차함수의 문제를 풀 때입니다. 4차함수는 포물선이 두 개 있는 모양으로 복잡해 보여 처음 보면 막막할 수 있습니다. 하지만 여기서 ‘공통근 차수낮추기’라는 마법 같은 스킬을 사용하면, 익숙한 3차함수 문제로 바꿔 풀 수 있습니다.
원리는 생각보다 간단합니다. 만약 4차함수 f(x)와 x축(또는 다른 직선)이 한 점 x=a에서 만난다면, 즉 공통근 x=a를 가진다면, f(x)는 (x-a)라는 인수를 가지고 있습니다. 이 (x-a)를 묶어내서 f(x) = (x-a) * Q(x) 형태로 만드는 것이죠. 그러면 남은 Q(x)는 3차함수가 되어 훨씬 다루기 쉬워집니다. 이 과정 자체는 중학교 때 배운 공통인수로 묶는 인수분해와 다르지 않습니다.
차수낮추기 사용하는 경우
| 문제에서 주는 신호 | 의미 |
|---|---|
| “한 점에서 만난다” | 두 그래프가 x=a에서 교차하므로 공통근 x=a가 존재함 |
| “접한다” (중근) | 두 그래프가 x=a에서 접하므로 공통근 x=a가 이중근 형태로 존재함 |
| “(x-a)²(x-b)² 형태” (더블이중근) | 전형적인 4차함수 출제 패턴, (x-a)로 한 번 차수낮추기 가능 |
문제에서 교점이나 접점을 묻는다면, 차수낮추기를 먼저 생각해보는 것이 좋습니다. 4차함수 자체를 직접 해결하려 하기보다, 공통근을 찾아 3차함수 문제로 환원시키는 것이 출제자의 의도이자 상위권 학생들의 풀이 방식입니다.
주의해야 할 점 차이를 이해하기
차수낮추기를 할 때 절대 잊지 말아야 할 것은, 낮춘 함수 Q(x)에서 보존되는 것은 오직 ‘교점의 x좌표’뿐이라는 사실입니다. y좌표나 그 점에서의 기울기(접선의 방정식)는 원래 함수 f(x)와 Q(x)가 완전히 다를 수 있습니다. 따라서 차수낮추기로 x좌표를 구한 후, y좌표나 기울기를 구해야 하는 문제라면 반드시 구한 x값을 ‘원래 함수 f(x)’에 대입해서 계산해야 합니다. 이 부분을 놓치면 아까운 점수를 잃기 쉽습니다.
| 구분 | 차수낮추기 후 보존됨 | 차수낮추기 후 변할 수 있음 |
|---|---|---|
| 교점의 x좌표 | ⭕ | – |
| 교점의 y좌표 | – | ⭕ (원래 함수에 대입 필수) |
| 그 점에서의 기울기 | – | ⭕ (원래 함수에 대입 필수) |
실전에서 적용하는 방법
실제 문제에 접근하는 방식을 단계별로 정리해보겠습니다. 먼저 문제를 읽으면서 ‘교점’이나 ‘접점’을 묻는지 확인합니다. 만약 그렇다면, 두 그래프가 공유하는 공통근(x=a)을 찾아야 합니다. 문제 조건에서 명시적으로 주어질 수도 있고, 그래프의 모양(예: x축에 접함)으로부터 추론해야 할 수도 있습니다. 공통근을 찾았다면, 그 인수(x-a)로 원래 방정식을 인수분해하여 차수를 한 단계 낮춘 새로운 함수 Q(x)를 만듭니다. 이제 Q(x)는 3차함수가 되었으므로, 3차함수에서 사용할 수 있는 여러 공식(예: 극값 사이의 거리 비율 관계 1:2, 극값 편차 공식 등)을 적용할 수 있어 문제가 훨씬 쉬워집니다. 마지막으로, 문제에서 y좌표나 넓이 등을 추가로 묻는다면, 앞서 구한 x좌표를 가지고 원래의 4차함수 식으로 돌아가 계산을 완성하면 됩니다.
문제 풀이 체크리스트
- 문제에서 교점 또는 접점을 물었는가?
- 공통근(예: 한 점에서 만남, 중근)을 찾을 수 있는가?
- 공통근 인수로 묶어 차수를 낮춘 후, 익숙한 3차함수 공식을 적용할 수 있는가?
- x좌표를 구한 후, 필요하다면 y좌표 등을 원래 함수에 대입해 계산했는가?
공통근 마스터하기
공통근은 단순한 방정식의 해를 넘어, 고등학교 수학의 함수와 그래프 영역을 연결하는 중요한 다리 역할을 합니다. 같은 식을 다른 그래프의 교점으로 해석하는 훈련은 수학적 유연성을 키워주고, 공통근 차수낮추기 기술은 복잡한 고차함수 문제를 단순화하는 강력한 도구가 됩니다. 처음 보면 낯설고 복잡해 보이는 4차함수 문제도, 공통근을 찾아 3차함수로 끌어내리면 여러분이 이미 알고 있는 방법으로 풀 수 있는 친숙한 문제가 됩니다. 시험은 단순히 아는 것과 모르는 것을 가르는 것이 아니라, 익숙한 영역으로 문제를 끌고 와 해결하는 능력을 보는 것이기도 합니다. 공통근에 대한 이해를 바탕으로, 다음에 4차함수가 나와도 당황하지 않고 자신 있게 접근해 보세요.
공통근에 대한 더 자세한 수학적 정의와 다양한 예시는 수학백과 사전에서 확인할 수 있습니다. https://terms.naver.com/entry.naver?cid=60207&docId=3338407&categoryId=60207